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Morphismes de groupes
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Message de rowen posté le 07-04-2023 à 09:12:39 (S | E | F)
Bonjour, j'aurais besoin d'aide sur un exercice. Voici le sujet :
Soit H un sous-groupe de G. Soit H' un sous-groupe de G'. Soit f:G→G' un morphisme de groupe.
1) Montrer, en partant de la définition d'un morphisme de groupe, que f(e)=e'.
2) A-t-on forcément que f(H) est un sous-groupe de G'? Si oui le montrer. Si non, donner un contre-exemple.
3) A-t-on forcément que f^-1(H') est un sous-groupe de G ? Si oui le montrer. Si non donner un contre-exemple.
1) Notons que f(e) = f(e ∗ e) = f(e)∗'f(e). Donc, en multipliant par f(e)^−1 de chaque côté, on obtient f(e) = e'.
Merci d'avance pour votre aide
Message de rowen posté le 07-04-2023 à 09:12:39 (S | E | F)
Bonjour, j'aurais besoin d'aide sur un exercice. Voici le sujet :
Soit H un sous-groupe de G. Soit H' un sous-groupe de G'. Soit f:G→G' un morphisme de groupe.
1) Montrer, en partant de la définition d'un morphisme de groupe, que f(e)=e'.
2) A-t-on forcément que f(H) est un sous-groupe de G'? Si oui le montrer. Si non, donner un contre-exemple.
3) A-t-on forcément que f^-1(H') est un sous-groupe de G ? Si oui le montrer. Si non donner un contre-exemple.
1) Notons que f(e) = f(e ∗ e) = f(e)∗'f(e). Donc, en multipliant par f(e)^−1 de chaque côté, on obtient f(e) = e'.
Merci d'avance pour votre aide
Réponse : Morphismes de groupes de tiruxa, postée le 07-04-2023 à 15:05:57 (S | E)
Bonjour
a) Puisque f(e)=e' et que e est dans H, alors e' est élément de f(H).
b) Soit y' et z' deux éléments de f(H)
il existe y et z dans H tels que y'=f(y) et z'=f(z)
y'*z'=f(y)*f(z)=f(y*z) comme y*z est dans H, y'*z' est dans f(H) donc f(H) est stable pour *
c) De plus soit y' dans f(H) il existe y dans H tel que f(y)=y'
Notons t l'inverse de y dans G, t est dans H puisque H est un sous groupe de G
On a t*y=y*t=e
donc f(t*y)=f(y*t)=f(e) donc f(t)*y'=y'*f(t)=e'
donc f(t) est l'inverse de y' dans G', c'est à dire que l'inverse de y' est dans f(H)
Conclusion f(H) est un sous groupe de G'
Même genre de raisonnement pour la question 3.
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